Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

（1）t为4
（2）当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为

（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。
解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，
∴AM=12﹣t，AN=2t。
∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t="4" 秒。
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。
（2）如图作NH⊥AC于H，

∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。
∴△ANH∽△ABC。
∴，即。∴NH=。
∴。
∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。