Question

如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE，CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．
（3）在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD按逆时针或顺时针旋转任意角度（如图2和图3）．那么（2）中结论是否还成立？请选择其中一个说明理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质可得CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，然后利用“边角边”证明△CDG和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）延长EA交CG于H，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再根据对顶角相等可得∠3=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再求出∠GHE=90°，根据垂直的定义证明即可；
（3）图2，设EA与CG相交于点H，根据正方形的性质可得CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，再求出∠CDG=∠ADE，然后利用“边角边”证明△CDG和△ADE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠GHE=90°，根据垂直的定义即可得证；
图3，与图2证明方法和思路相同．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDG=∠ADE=90°，GD=ED，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴AE=CG；

（2）解：AE⊥CG．
证明：延长EA交CG于H，
∵△CDG≌△ADE，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；

（3）答：（2）中结论仍然成立．
理由：图2，设EA与CG相交于点H，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA+∠5=∠CDG+∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG；
图3，延长EA交CG于点H，
∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴CD=AD，∠CDA=∠CDG=90°，GD=ED，
∴∠CDA-∠5=∠CDG-∠5，
即∠CDG=∠ADE，
在△CDG和△ADE中，

CD=AD ∠CDG=∠ADE GD=ED

，
∴△CDG≌△ADE（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠GHE=90°，
∴AE⊥CG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，此类题目，求解的关键在于往往利用同一个思路求解．