Question

在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角α，一般情况下，倾角α愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由α₁减至α₂，这样楼梯占用地板的长度由d₁增加到d₂，已知d₁=4m，∠ACB=α₁=40°，∠ADB=α₂=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）

Answer 1

分析：由题意得：增加部分是CD长，分别在Rt△ABC，Rt△ABD中利用三角函数的定义即可求出BC，BD长，然后利用已知条件即可求出CD长．

解答：解：在Rt△ABC中，BC=d₁=4m，∠ACB=∠α₁=40°，
∴AB=BC×tan40°=4tan40°≈3.356m，
在Rt△ABD中，BD=d₂，∠ADB=α₂=36°，
∴BD=AB÷tan36°≈4.62m
∴CD=d₂-d₁=BD-CB=4.62-4≈0.62m．
∴楼梯占用地板的长度增加了0.62m．

点评：考查了当两个直角三角形共用一条线段时，应先利用三角函数算出这条线段的长度．此题还要注意最后计算结果要求保留2位小数，那么在计算过程中最好计算到第3位小数．