Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5。试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer 1

解：设边AB=a，AC=b，
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根，
∴a+b=2k+3，a·b=k²+3k+2，
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5，
∴a²+b²=5，即（a+b）²-2ab=5，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0，
∴k₁=-5或k₂=2，
当k=-5时，方程为：x²+7x+12=0，
解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去），
当k=2时，方程为：x²-7x+12=0，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。