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精英家教网如图,已知AB是⊙O的直径,AC是弦,D是
AC
的中点,DE⊥AB于E,交AC于F.连接BD交AC于G.
(1)求证:∠DAC=∠ADE;
(2)若⊙O半径为5,OE=3,求DE、DF的长.
分析:(1)连接OD,根据D是
AC
的中点,可以确定∠DBA=∠DAC;再根据AB是⊙O的直径,可知∠ADB=90°;则据此即可确定∠DBA=∠ADE,即∠DAC=∠ADE;
(2)根据勾股定理可以直接求得DE;再设DF=x,则在Rt△AFE中,由AF2=FE2+AE2,可以求得x的长度.
解答:精英家教网(1)证明:连接OD,
∵D是
AC
的中点,
∴∠DBA=∠DAC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠DAB+∠DBA=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°.
∴∠DAB+∠EDA=90°.
∴∠DBA=∠EDA.
∴∠DAC=∠ADE.

(2)解:在Rt△ODE中,DE=
OD2-OE2
=4
,设DF=x,
∵∠DAC=∠ADE,
∴DF=AF=x,FE=4-x.
在Rt△AFE中,由AF2=FE2+AE2,AE=2,得:x2=22+(4-x)2
解得:x=2.5,
答:DE为4,DF值为2.5.
点评:本题是综合考查了圆周角定理以及勾股定理;在做题时一定要仔细认真.
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BEAD
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3
时,求AD的长.

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