Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M为抛物线y=-x²+2nx-n²+2n（n＞2）的顶点，直线y=-$\frac{1}{2}$x与抛物线交于点P、Q，过点P作PA∥x轴，交抛物线于另一点A，交y轴于点B．
（1）求出M的坐标（用n的代数式表示）；
（2）求证：OM⊥OP；
（3）当OM=OQ时，求n的值；
（4）当△MPA的面积是△POM面积的2倍时，求tan∠OPM的值．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式配成顶点式即可得到M点坐标；
（2）设P（t，-$\frac{1}{2}$t），而M（n，2n），利用两点间的距离公式得到OM²=5n²，OP²=$\frac{5}{4}$t²，NP²=5n²+$\frac{5}{4}$t²，然后利用勾股定理的逆定理可证明△OMP为直角三角形，∠MOP=90°，于是可判断OM⊥OP；
（3）作QK⊥x轴于K，如图，证明△OMN≌△QOK得到OK=MN=2n，ON=QK=n，则Q（2n，-n），利用二次函数图象上点的坐标特征得到-4n²+4n-n²+2n=-n，解得n₁=0，n₂=3，于是得到n=3；
（4）由（2）得P（t，-$\frac{1}{2}$t），M（n，2n），OM=$\sqrt{5}$n，OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，作MN⊥AB于N点，如图，则NP=NA=n-t，利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•2（n-t）•（2n+$\frac{1}{2}$t）=2•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$n•$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，解得n₁=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$t，n₂=$\frac{2-\sqrt{5}}{2}$t（舍去），即n=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$t，然后在Rt△OMP中，利用正切的定义求解．

解答 （1）解：∵y=-x²+2nx-n²+2n=-（x-n）²+2n，
∴M（n，2n）；
（2）证明：设P（t，-$\frac{1}{2}$t），而M（n，2n），
∴OM²=n²+（2n）²=5n²，OP²=t²+（$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{5}{4}$t²，NP²=（n-t）²+（2n+$\frac{1}{2}$t）²=5n²+$\frac{5}{4}$t²，
∴OM²+OP²=NP²，
∴△OMP为直角三角形，∠MOP=90°，
∴OM⊥OP；
（3）解：作QK⊥x轴于K，如图，
∵∠MOQ=90°，即∠MON+∠QOK=90°，
而∠MON+∠OMN=90°，
∴∠OMN=∠QOK，
在△OMN和△QOK中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ONM=∠QKO}\\{∠OMN=∠QOK}\\{OM=QO}\end{array}\right.$，
∴△OMN≌△QOK，
∴OK=MN=2n，ON=QK=n，
∴Q（2n，-n），
∵Q（2n，-n）在抛物线y=-x²+2nx-n²+2n上，
∴-4n²+4n-n²+2n=-n，解得n₁=0，n₂=3，
而n＞2，
∴n=3；
（4）解：P（t，-$\frac{1}{2}$t），M（n，2n），OM=$\sqrt{5}$n，OP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
作MN⊥AB于N点，如图，则NP=NA=n-t，
∵△MPA的面积是△POM面积的2倍，
∴$\frac{1}{2}$•2（n-t）•（2n+$\frac{1}{2}$t）=2•$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$n•$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，
整理得4n²-8nt-t²=0，解得n₁=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$t，n₂=$\frac{2-\sqrt{5}}{2}$t（舍去），
即n=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$t，
在Rt△OMP中，tan∠OPM=$\frac{OM}{OP}$=$\frac{\sqrt{5}n}{\frac{\sqrt{5}t}{2}}$=$\frac{2n}{t}$=2+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；理解坐标与图形性质，会运用两点间的距离公式计算线段的长；会运用全等三角形证明线段相等．