Question

m，n均为正整数，若关于x的方程4x²-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer 1

分析：首先设f（x）=4x²-2mx+n，由关于x的方程4x²-2mx+n=0有两个实数根，可得判别式△＞0，又由此二次函数的开口向上，关于x的方程4x²-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，可得f（1）＞0，f（2）＞0，然后设方程4x²-2mx+n=0两根为x₁，x₂，根据韦达定理，可得x₁+x₂=

m

2

，x₁x₂=

n

4

，则可求得4＜m＜8，4＜n＜16，由m，n均为正整数，利用分类讨论的方法，即可求得m，n的值．

解答：解：设f（x）=4x²-2mx+n，
∵关于x的方程4x²-2mx+n=0有两个实数根，
∴△=（2m）²-16n≥0，
∴m²≥4n，
∵此二次函数的开口向上，关于x的方程4x²-2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2（如草图），
∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0，
设方程4x²-2mx+n=0两根为x₁，x₂，
由韦达定理知：x₁+x₂=

m

2

，x₁x₂=

n

4

，
∵x₁，x₂都大于1，且小于2，
∴2＜

m

2

＜4，1＜

n

4

＜4，
∴4＜m＜8，4＜n＜16，
∵m，n均为正整数，
∴（1）当m=5，由m²-4n≥0，得n=5或6，但均不满足4-2m+n＞0，
∴m≠5；
（2）当m=6，由m²-4n＞0得n=5，6，7，8，9，
∵n，5，6，7，8不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴n=9；
（3）当m=7，由m²-4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12．
∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，
∴此时无解；
∴m=6，n=9．

点评：此题考查了一元二次方根的分布，函数的性质与一元二次不等式的解法．此题难度较大，解题的关键是掌握函数思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用，还要注意二次函数的性质的灵活应用．