Question

【题目】我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．

（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=，AB=4.试判断点D是不是△ABC边AB上的“理想点”，并说明理由．

（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．

（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）D（0,42）或D（0,6）

【解析】

（1）依据边长AC=，AB=4，D是边AB的中点，得到AC2=，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B；

(2)由点D是△ABC的“理想点”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分两种情况证明均得到CD⊥AB，再根据面积法求出CD的长；

(3)使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D的坐标即可.

（1）D是△ABC边AB上的“理想点”，理由：

∵AB=4，点D是△ABC的边AB的中点，

∴AD=2，

∵AC2=8，，

∴AC2=，

又∵∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∴D是△ABC边AB上的“理想点”.

（2）如图②，

∵点D是△ABC的“理想点”，

∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A,

当∠ACD=∠B时，

∵∠ACD+∠BCD=90，

∴∠BCD+∠B=90，

∴∠CDB=90，

当∠BCD=∠A时，同理可得CD⊥AB，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90,AB=5，AC=4，

∴BC==3，

∵,

∴,

∴.

（3）如图③，存在.

过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M，∵∠MAC=∠AOC=90,∠ACM=45，

∴∠AMC=∠ACM=45，

∴AM=AC,

∵∠MAH+∠CAO=90,∠CAO+∠ACO=90,

∴∠MAH=∠ACO,

∴△AHM≌△COA

∴MH=OA,OC=AH,

设C（a，0），

∵A(0，2),B(0，-3),

∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，

∵MH∥OC,

∴，

∴，

解得a=6或a=-1（舍去），

经检验a=6是原分式方程的解，

∴C（6,0），OC=6.

①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”，

设D1(0，m)，

∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,

∴△D1AC∽△D1CB,

∴,

∴，

解得m=42，∴D1(0，42)；

②当∠BCA=∠CD2B时，点A是△BCD2“理想点”，

可知：∠CD2O=45，

∴OD2=OC=6，

∴D2（0,6）.

综上，满足条件的点D的坐标为D（0,42）或D（0,6）.