Question

12．问题背景：已知在△ABC中，边AB上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求$\frac{AC}{HF}$的值．
（1）初步尝试     如图（1），若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作DG∥BC交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，
从而求得$\frac{AC}{HF}$的值为2．
（2）类比探究
如图（2），若△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}$：1，求$\frac{AC}{HF}$的值．
（3）延伸拓展
如图（3）若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记$\frac{BC}{AC}$=m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示$\frac{AC}{HF}$的值（直接写出果，不必写解答过程）．

Answer 1

分析 （1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，即可得出所求答案；
（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D，E的运动速度之比是$\sqrt{3}$：1可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，即可得出答案；
（3）类似（1）（2）的方法可求出$\frac{AH}{AG}$=m和$\frac{GF}{CF}$=m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF）即可求出$\frac{AC}{HF}$的值．

解答 解：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，如图（1）所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知：CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}&{\;}\\{∠GFD=∠EFC}&{\;}\\{CE=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴$\frac{AC}{HF}$=2；
故答案为：2；

（2）如图（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，
则∠ADG=∠ABC=90°．
∵∠BAC=∠ADH=30°，
∴AH=DH，∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°，
∠HDG=∠ADG-∠ADH=60°，
∴△DGH为等边三角形．
∴GD=GH=DH=AH，AD=GD•tan60°=$\sqrt{3}$GD．
由题意可知，AD=$\sqrt{3}$CE．
∴GD=CE．
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF．
在△GDF与△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}&{\;}\\{∠GFD=∠EFC}&{\;}\\{CE=GD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴GF=CF．
GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，
∴HF=$\frac{1}{2}$AC=2，即$\frac{AC}{HF}=2$．
（3）$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$．理由如下：
如图（3），过点D作DG∥BC交AC于点G，
易得AD=AG，AD=EC，∠AGD=∠ACB．
在△ABC中，∵∠BAC=∠ADH=36°，AB=AC，
∴AH=DH，∠ACB=∠B=72°，∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°．
∴∠AGD=∠GHD=72°．
∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB，
∴△ABC∽△DGH．
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{GH}{DH}=m$，
∴GH=mD H=mA H．
由△ADG∽△ABC可得$\frac{GD}{AD}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{AC}=m$．
∵DG∥BC，
∴$\frac{FG}{FC}=\frac{GD}{EC}=\frac{GD}{AD}=m$．
∴FG=mFC．
∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC-HF），
即HF=m（AC-HF）．
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．