Question

17．如图1，已知?ABCD，点P为BC的中点，连接PA、PD，且PA⊥PD．
（1）求证：PD平分∠ADC；
（2）如图2，过点C作CE⊥CD交PD于点E，若∠PCE=$\frac{1}{2}$∠B，PE=3$\sqrt{3}$，求?ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）延长AP，DC交于一点E，构造全等三角形，根据三线合一即可证出结论；
（2）由（1）证得PD平分∠ADC，同理PA平分∠BAD，根据角平分线的性质和平行线的性质，得到等腰三角形，推出△ABP，△CPE是等腰直角三角形，从而使问题得解．

解答 （1）证明：如图，延长AP，DC交于一点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，∠BAP=∠E，
在△ABP与△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠E}\\{∠B=∠PCE}\\{BP=PC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ECP，
∴AP=PE，
∵PD⊥AP，
∴AD=DE，
∴PD平分∠ADC；

（2）解；由（1）证得PD平分∠ADC，
同理PA平分∠BAD，
∴∠BAP=∠BPA，
∵CE⊥PD，AP⊥PD，
∴AP∥CE，
∴∠APB=∠ECP=$\frac{1}{2}$∠B，
∴∠B=90°，∠APB=∠ECP=45°，
∵PE=$\sqrt{3}$，
∴PC=3$\sqrt{6}$，BC=6$\sqrt{6}$，
∴AB=3$\sqrt{6}$，
∴?ABCD的周长=18$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．