Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB=CE．
求证：（1）BE∥DG；
（2）CB²-CF²=BF•FE．

Answer 1

证明：（1）∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE．
∵CG为⊙O切线，
∴∠BCD=∠E．
∴∠CBE=∠BCD．
∴BE∥DG．

（2）∵∠A=∠E，
∴∠A=∠CBE．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，．
∴CB²=CF•AC=CF•（CF+AF）=CF²+CF•AF．
即CB²-CF²=AF•CF．
由相交弦定理，得AF•CF=BF•FE．
∴CB²-CF²=BF•FE．
分析：（1）欲证BE∥DG，需证得两直线的同位角或内错角相等，由等腰三角形的性质，易得∠CEB=∠CBE，由弦切角定理，得∠BCD=∠CEB，将等角代换后可证得两直线平行；
（2）先将所求的等式进行适当变形，由相交弦定理，得BF•FE=AF•FC，因此所求的结论可化为CB²-CF²=AF•FC，化简得：CB²=CF•AC，因此只需证明△CBF∽△CAB即可．
点评：本题考查了平行线的判断、相似三角形的性质及圆周角定理、等腰三角形的性质等知识．