Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1分别交y轴、x轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD过点A，D，C的抛物线y=ax²+bx+1与直线的另一交点为点E
（1）点C的坐标为

 

；点D的坐标为

 

．并求出抛物线的解析式；
（2）若正方形以每秒

5

个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性质，可直接求出C，D的坐标，然后可求出抛物线解析式；
（2）动点问题的解决应找到特殊分界点进行讨论，当点A运动到点F时，t=1，当0＜t≤1时，当点C运动到x轴t=2，当点D运动到x轴上时，t=3，当2＜t≤3时，分别得出函数解析式；
（3）根据阴影部分比较特殊，可以转化为矩形的面积，从而求出．

解答：解：（1）∵A在y轴上，B在x轴上，则
A（0，1），B（2，0）
C（3，2），D（1，3）
过点A，D，C的抛物线：y=-

5

6

x²+

17

6

x+1
与直线交点为A（0，1），E（4，-1）
所以点E坐标为（4，-1）；

（2）①当点A运动到点B时，t=1，当0＜t≤1时，
∵∠OBA=∠GBB′，
tan∠OBA=

OA

OB

=

1

2

，
∴tan∠GFB′=

GB′

BB′

=

GB′

5 t

=

1

2

，
∴GB′=

5

2

t，
∴S_△BB′G=

1

2

BB′×GB′=

1

2

×

5

t×

5

2

t=

5

4

t²；
②当点C运动到x轴t=2，
当1＜t≤2时，
A′B′=AB=

2 2+12

=

5

，
∴A′F=

5

t-

5

，
∴A′G=

5 t- 5

2

，
∵B′H=

5

2

t，
∴S_{梯形A′B′HG}=

1

2

（A′G+B′H）×A′B′，
=

1

2

（

5 t- 5

2

+

5

2

t）×

5

，
=

5

2

t-

5

4

；
③当点D运动到x轴上时，t=3，当2＜t≤3时，
∵A′G=

5 t- 5

2

，∴GD′=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

，
∵S_△AOF=

1

2

×1×2=1，OA=1，
∵△AOF∽△GD′H，
∴

S △GDH

S △AOF

=（

GD′

OA

）²，
∴S_△GD′H=（

3 5 - 5 t

2

）²，
∴S_{五边形GA′B′C′H}=（

5

）²-（

3 5 - 5 t

2

）²=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

；

（3）∵t=3，BB′=AA′=3

5

，
∴S_阴影=S_{矩形BB′C′C}=S_{矩形AA′D′D}=AD×AA′=

5

×3

5

=15．

点评：此题主要考查二次函数解析式的求法，以及动点问题，动点问题的解决关键是找到特殊分界点，进行讨论是解决问题的关键，此题综合性较强，分析过程中必须细心．