Question

15．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图a，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图b，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN；
然后运用类比的思想提出了如下命题：
③如图c，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN；
任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（说明选①做对的得4分，选②做对的得3分，选③做对的得5分）
（2）请你继续完成下面的探索：
ⅰ、如图d，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）
ⅱ、如图e，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108° 时，试问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）正三角形ABC中，可通过全等三角形来证明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据∠BON和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出BCM和CND全等，进而得出BM=CN；
（2）①由（1）的证明过程可知道∠MON的度数应该是正多边形的内角的度数，当∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$时，结论BM=CN成立，
②可参照（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通过证三角形CEN和BDM全等来得出结论，在证三角形CEN和BDM全等的过程中也是通过∠BON与正五边形的内角相等得出一组对应角相等，然后根据正五边形的内角减去第一对全等三角形中得出的相等角来得出另一组对应角相等，可通过△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得证．

解答 解：（1）选命题①
在图a中，∵△ABC是正三角形，
∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．
∵∠BON=60°，
∴∠CBM+∠BCN=60°．
∵∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠CBM=∠ACN．
∴△BCM≌△CAN（ASA）．
∴BM=CN．

选命题②
在图b中∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．
∵∠BON=90°，
∴∠CBM+∠BCN=90°．
∵∠BCN+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

选命题③
在图c中，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．
∵∠BON=108°，
∴∠CBM+∠BCN=108°．
∵∠BCN+∠DCN=108°，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

（2）①当∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$时，结论BM=CN成立．
∵在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，
∵BC=CD，∠BCM=∠CDN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∵∠BON=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∴∠CBM+∠BCN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∵∠BCN+∠DCN=$\frac{（n-2）×180°}{n}$，
∴∠CBM=∠DCN．
∴△BCM≌△CDN（ASA）．
∴BM=CN．

②BM=CN成立．
在图⑤中，连接BD、CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE=∠DEA=108°．
∴∠BCD=∠DEA，
∴△BCD≌△CDE（SAS）．
∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．
∵∠BON=108°，
∴∠OBC+∠OCB=108°．
∵∠OCB+∠OCD=108°，
∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．
∴∠MBC-∠DBC=∠NCD-∠ECD，即∠DBM=∠ECN．
∴∠CDE-∠BDC=∠DEA-∠CED，即∠BDM=∠CEN．
∴△BDM≌△CEN（ASA）．
∴BM=CN．

点评 本题主要考查了全等三角形，正多边形等几何知识，是一道几何型探究题，层层深入，体现了一个由特殊到一般的过程，考查学生的逻辑思维能力及归纳探索诸多方面的能力，是一道很好的压轴题．本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题．