Question

（2012•南昌）如图，已知二次函数L₁：y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L₁的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）研究二次函数L₂：y=kx²-4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线y=ax²+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下．
抛物线的对称轴方程：x=-

b

2a

；顶点坐标：（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析．
②联系直线和抛物线L₂的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化．

解答：解：（1）抛物线y=x²-4x+3中，a=1、b=-4、c=3；
∴-

b

2a

=-

-4

2

=2，

4ac-b2

4a

=

4×3-16

4

=-1；
∴二次函数L₁的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，-1）．

（2）①二次函数L₂与L₁有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2，或顶点的横坐标为2，
都经过A（1，0），B（3，0）两点；
②线段EF的长度不会发生变化．
∵直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，
∴kx²-4kx+3k=8k，
∵k≠0，∴x²-4x+3=8，
解得：x₁=-1，x₂=5，∴EF=x₂-x₁=6，
∴线段EF的长度不会发生变化．

点评：该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握．