Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）．点的坐标为，点的坐标为；（2）存在点，使的面积最大，最大面积是．（3）点的坐标为、、或．

【解析】

（1）由抛物线的对称轴为直线x=3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，假设存在，设点P的坐标为（x，-x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，-x+4），PD=-x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；

（3）设点M的坐标为（m，-m2+m+4），则点N的坐标为（m，-m+4），进而可得出MN=|-m2+2m|，结合MN=3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程，解之即可得出结论．

（1）抛物线的对称轴是直线，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为．

当时，，

解得：，，

∴点的坐标为，点的坐标为．

（2）当时，，

∴点的坐标为．

设直线的解析式为．

将、代入，

，解得：，

∴直线的解析式为．

假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．

∴，

∴．

∵，

∴当时，的面积最大，最大面积是．

∵，

∴存在点，使的面积最大，最大面积是．

（3）设点的坐标为，则点的坐标为，

∴．

又∵，

∴．

当时，有，

解得：，，

∴点的坐标为或；

当或时，有，

解得：，，

∴点的坐标为或．

综上所述：点的坐标为、、或．