【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=BD;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形ADCF是菱形,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)利用AAS定理判定三角形全等即可;(2)先判定四边形的形状,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出四边形是平行四边形,再加上领边相等得出菱形即可.
试题解析:
(1)证明∵AF∥BC ∴∠EFA=∠EBD∵ E是AD的中点 ∴AE=DE ∵∠FEA=∠DEB ∴ΔAEF≌ΔDEB(4分)
(2)四边形ADCF是菱形.
理由:∵CA⊥AB∴ΔACB是RtΔ,∵AD是CD边的中线
∴AD=CD=DB.由(1)知AF=DB∴AF=CD又AF∥CD∴四边形ADCF是平行四边形
又∵DA=DC∴平行四边形ADCF是菱形.
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【题目】(1)已知x1=3是关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,求c的值和方程的另一个根.
(2)如图,在矩形ABCD中.点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:AO=OB.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.当一个点到达终点时另一点也随之停止运动,设运动时间为x秒,
(1)求几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?
(2)求几秒后,PQ的长度等于5cm?
(3)运动过程中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.
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【题目】在频数分布直方图中,各个小组的频数比为1∶5∶4∶6,则对应的小长方形的高的比为( )
A. 1∶4∶5∶3 B. 1∶5∶3∶6
C. 1∶5∶4∶6 D. 6∶4∶5∶1
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【题目】定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
请解决下列问题:
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的长;
(2)如图2,若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点,点D,E是线段BC的勾股分割点,且EC>DE>BD,求证:点M,N是线段FG的勾股分割点.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(﹣4,0).
(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标;
(2)点D的坐标为(0,4),点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点,连接CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.
①求S的最大值;
②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,请直接写出此时S的值.
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