Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+（2k-3）x+k-3=0（k＜0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别是x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若一次函数y=（3k-1）x+b与正比例函数y=2kx的图象都经过点P（x₁，kx₂），求一次函数和正比例函数的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵k＜0，
∴△=（2k-3）²-4k（k-3）
=9＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（2）解原方程得：x=，
∵k＜0，x₁＞x₂，
∴x₁=-1，x₂=-1，
∴P点坐标为（-1，3-k），
而正比例函数y=2kx的图象经过点P，
∴3-k=2k•（-1），解得k=-3，即P点坐标为（-1，6），
而一次函数y=（3k-1）x+b的图象经过点P，
∴6=（-3×3-1）×（-1）+b，解得b=-4，
∴正比例函数的解析式为：y=-6x，
一次函数的解析式为：y=-10x-4．
分析：（1）由于k＜0，计算△=（2k-3）²-4k（k-3）=9＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；
（2）先解方程得到x₁=-1，x₂=-1，则得到P点坐标为（-1，3-k），把它代入正比例函数y=2kx和一次函数y=（3k-1）x+b可求出k和b，即得到一次函数和正比例函数的解析式．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；当△=0，方程有一个实数根；也考查了一元二次方程的定义．也考查了利用求根公式法解一元二次方程以及点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式．