Question

已知关于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求证：该方程必有两个实数根；
（2）若该方程只有整数根，求k的整数值；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数y=（k+1）x²+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足OA=2•OB，求m的非负整数值．

Answer 1

（1）证明：△=b²-4ac=（3k+1）²-4k（2k+1），
=（k+1）²≥0，
∴该方程必有两个实数根；
（2）解：x=，
x，x，
∵方程只有整数根，
∴-2-应为整数，即应为整数，
∵k为整数，
∴k=±1；
（3）根据题意，k+1≠0，即k≠-1，
∴k=1，此时，二次函数为y=2x²+3x+m，
∵二次函数与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），
∴△=b²-4ac=3²-4×2×m=9-8m＞0，m＜，
∵m为非负整数
∴m=0，1，
当m=0时，二次函数为y=2x²+3x，此时A（，0），B（0，0）
不满足OA=2•OB，
当m=1时，二次函数为y=2x²+3x+1，此时A（-1，0），B（，0）
满足OA=2•OB．
∴m=1．
分析：（1）通过计算方程的△即可证明该方程必有两个实数根；
（2）利用公式法求出方程的两个根，该方程只有整数根，则可知-2-为整数，即可求出k的值；
（3）根据题意，k+1≠0，即k≠-1，二次函数与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧）所以△=b²-4ac=3²-4×2×m=9-8m＞0，再有条件OA=2•OB，即可求出m的非负整数值．
点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系．△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．