Question

抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线顶点为M，连接AC并延长AC交抛物线对称轴于点Q，且点Q到x轴的距离为6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，求出点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得S_△PAM=3S_△ACM？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线AC的解析式为y=kx-3，把已知坐标代入可解k的值．
（2）依题意得出∠ACO=∠ANC，然后求出ON的值以及直线CN的解析式．最后可求出x，y的值．
（3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，依题意，得AE，EM，AM的值．设P（1，m），分情况讨论P的坐标．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx-3，
把A（-1，0）代入得k=-3
∴直线AC的解析式为y=-3x-3
依题意知，点Q的纵坐标是-6
把y=-6代入y=-3x-3中，
解得x=1
∴点Q（1，-6）
∵点Q在抛物线的对称轴上
∴抛物线的对称轴为直线x=1
设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+n
由题意，
得

4a+n=0 a+n=-3

解得

a=1 n=-4

∴抛物线的解析式为y=（x-1）²-4．

（2）如图1，过点C作AC的垂线交抛物线于点
交x轴于点N，则∠ACO=∠ANC
∴tan∠ANC=tan∠ACO
∴

OC

ON

=

OA

OC

∵OA=1，OC=3
∴ON=9
∴点N的坐标为（9，0）
可求得直线CN的解析式为y=

1

3

x-3
由

y= 1 3 x-3 y=(x-1)2-4

解得

x= 7 3 y=- 20 9

即点D的坐标为（

7

3

，-

20

9

）．

（3）设抛物线的对称轴交x轴于点E，依题意，得
AE=2，EM=4，AM=2

5

∵S_△ACM=S_△AOC+S_梯形OCME-S_△AME=1
且S△PAM=

1

2

PM×AE=PM
又S_△PAM=3S_△ACM
∴PM=3
设P（1，m）
①当点P在点M上方时，PM=m+4=3
∴m=-1
∴P（1，-1）
②当点P在点M下方时，PM=-4-m=3
∴m=-7
∴P（1，-7）
综上所述，点P的坐标为P₁（1，-1），P₂（1，-7）．

点评：本题难度较大，考查的是二次函数图象与解析式的灵活运用，一般这样题目都是作为压轴题出现，考生平时应多积累二次函数的综合知识．