Question

如图，四边形OABC为直角梯形，OA=10，OC=3，BC=6．动点P、Q分别从C、A两点同时出发，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，当点Q停止运动时，点P也停止运动，设运动时间为t（0≤t≤5），
（1）当t为多少时，四边形PQAB是平行四边形？
（2）当t为多少时，四边形PQAB是等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）由题意可得CP=t，AQ=2t，BP=BC-CP=6-t，又由当BP=AQ时，四边形PQAB是平行四边形，可得方程6-t=2t，解此方程即可求得t的值；
（2）由当PQ=AB，PB≠AQ时，四边形PQAB是等腰梯形，可得方程：4+6-t+4=2t，解此方程即可求得t的值．

解答：解：∵四边形OABC为直角梯形，OA=10，OC=3，BC=6，点P以每秒1个单位的速度由C向B运动，点Q以每秒2个单位的速度由A向O运动，
∴CP=t，AQ=2t，
∴BP=BC-CP=6-t，
（1）∵四边形OABC为直角梯形，
∴BC∥OA，
∴当BP=AQ时，四边形PQAB是平行四边形，
即6-t=2t，
即t=2，
故当t为2时，四边形PQAB是平行四边形；

（2）过点P作PE⊥OA于点E，过点B作BF⊥OA于点F，
∵OA∥BC，
∴四边形PBFE是矩形，四边形OCBF是矩形，
∴EF=BP=6-t，PE=BF，OF=BC，
∴AF=OA-BC=10-6=4，
∵当PQ=AB，PB≠AQ时，四边形PQAB是等腰梯形，
在Rt△PQE和Rt△BAF中，
∵

PE=BF PQ=BA

，
∴Rt△PQE≌Rt△BAF（HL），
∴QE=AF=4，
∵QE+EF+AF=AQ，
∴4+6-t+4=2t，
解得：t=

14

3

，
故当t为

14

3

时，四边形PQAB是等腰梯形．

点评：此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质以及等腰梯形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．