Question

如图，已知等边△ABC，以BC为直径作半⊙O交AB于D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是半⊙O的切线；
（2）若DE=

3

，求△ABC与半⊙O重合部分的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，CD，由三角形ABC为等边三角形，得到AC=BC，再由直径所对的圆周角为直角得到CD垂直于AB，利用三线合一得到D为AB的中点，由O为BC中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到OD与AC平行，由DE垂直于AC，得到DE垂直于OD，可得出DE与圆O相切；
（2）连接BF，OF，由（1）同理得到OF为三角形ABC的中位线，即OF平行与AB，由等边三角形的内角为60度得到∠ABC与∠ACB为60度，利用两直线平行同位角相等得到∠BOD与∠COF都为60度，可得出三角形BOD与三角形COF都为等边三角形，扇形DOF的圆心角为60，由DE与BF都与AC垂直得到DE与BF平行，D为AB中点，可得出E为AF中点，利用中位线定理得到BF=2DE，求出BF的长，即为等边三角形的高，在直角三角形BCF中，设CF=x，可得出BC=2x，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出等边三角形BOD与COF的边长与扇形的半径，由两小等边三角形的面积加上扇形的面积即可求出三角形ABC与半圆重合的面积．

解答：（1）证明：连接OD，CD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
∵BC为圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴D为AB的中点，
又O为BC的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
则DE与圆O相切；

（2）解：连接BF，OF，由（1）同理得到OF∥AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FOC=∠DOB=60°，
∴∠DOF=60°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵D为AB的中点，
∴E为AF中点，即DE为△ABF的中位线，
∴BF=2DE=2

3

，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
设CF=x，则BC=2x，
根据勾股定理得：（2

3

）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴等边△BOD和△COF边长都为2，半圆半径为2，
则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S_△BOD+S_扇形DOF=2×

3

4

×4+

60π×22

360

=2

3

+

2π

3

．

点评：此题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形的中位线定理，以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．