Question

5．如图，矩形ABCD中，AD=kAB，P为边AB上一动点，连接DP，作PQ⊥DP交BF于Q．
（1）如图1，BF是∠ABC的外角平分线，当k=1时，探究线段AB与PB、BQ的数量关系；
（2）如图2，当k≠1时，连接BD，当BD⊥BQ时，探究线段AB与PB、BQ的数量关系．

Answer 1

分析 （1）在AD上截取AM=AP，则∠AMP=∠APM=45°，得到∠DMP=135°，由BF是∠ABC的外角平分线，得到∠PBQ=∠DMP=135°，根据余角的性质得到∠ADP=∠BPQ，推出△MPD≌△PBQ，得到PM=BQ，于是得到结论；
（2）过P作PM∥BD交AD于M，得到∠APM=∠ABD，推出∠PMD=∠PBQ，得到△PDM∽△PBQ，求得$\frac{DM}{PB}=\frac{PM}{BQ}$，由已知条件AD=kAB，得到AM=kAP=k（AB-PB），根据勾股定理求得PM=$\sqrt{A{P}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$AP=$\sqrt{{k}^{2}+1}$（AB-PB），代入比例式距离达到结论．

解答 解：（1）在AD上截取AM=AP，则∠AMP=∠APM=45°，
∵AB=AD，
∴DM=PB，
∴∠DMP=135°，
∵BF是∠ABC的外角平分线，
∴∠PBQ=∠DMP=135°，
∵PQ⊥DP，
∴∠ADP+∠APD=∠AFD+∠BPQ=90°，
∴∠ADP=∠BPQ，
在△PDM与△PQB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=∠QPB}\\{DM=PB}\\{∠DMP=∠PBQ}\end{array}\right.$，
∴△MPD≌△PBQ，
∴PM=BQ，
∴AB=AP+PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM+PB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ+PB；

（2）过P作PM∥BD交AD于M，
∴∠APM=∠ABD，
∴∠PMD=90°+∠APM，
∵BD⊥BQ，
∴∠PBQ=90°+ABD，
∴∠PMD=∠PBQ，
∵∠PDM=∠BPQ，
∴△PDM∽△PBQ，
∴$\frac{DM}{PB}=\frac{PM}{BQ}$，
∵AD=kAB，
∴AM=kAP=k（AB-PB），
∴PM=$\sqrt{A{P}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$AP=$\sqrt{{k}^{2}+1}$（AB-PB），
∴$\frac{kAB-k（AB-PB）}{PB}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}（AB-PB）}{BQ}$，
∴BQ=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$（AB-PB）．

点评 课题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．