Question

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为G，F是CD延长线上的一点，AF交⊙O于点E，连接CE．若CF=10，

AC

AF

=

4

5

，求CE的长．

Answer 1

分析：连接AD，易证△FAD∽△FCE，根据相似三角形的性质，对应边的比相等，得到

AF

CF

=

AD

CE

，即

AD

AF

=

CE

CF

，再根据垂径定理得到AD=AC，就可以求出CE的长．

解答：解：方法一：连接AD，（1分）
∵∠EAD=∠ECD，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCE，（5分）
∴

AF

CF

=

AD

CE

，即

AD

AF

=

CE

CF

，
∵直径AB垂直于弦CD，
∴

AD

=

AC

，∴AD=AC，
又∵

AC

AF

=

4

5

，∴

AD

AF

=

4

5

，

CE

CF

=

4

5

，（8分）
又∵CF=10，∴CE=8；（10分）

方法二：∵直径AB垂直于弦CD，
∴

AD

=

AC

，∴∠AEC=∠ACF，
又∵∠EAC=∠FAC，
∴△AEC∽△ACF，（5分）
∴

AC

AF

=

CE

CF

，又∵

AC

AF

=

4

5

，∴

CE

CF

=

4

5

，（8分）
又∵CF=10，
∴CE=8．  （10分）

点评：本题根据同弧所对的圆周角相等，证出三角形相似，利用垂径定理就可以求出所要求的结论．