Question

19．如图，已知等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，若AB=2$\sqrt{3}$，则图中阴影部分的面积为$\frac{1}{3}$π+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（结果保留π）

Answer 1

分析 根据等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，于是得到BD=BE，CE=CF，∠B=∠C=60°，BC=AB=2$\sqrt{3}$，推出△BDE和△CEF是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠BED=∠CEF=60°，BE=CE=$\sqrt{3}$，然后由扇形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵等边△ABC的三边分别与⊙O相切于点D、E、F，
∴BD=BE，CE=CF，∠B=∠C=60°，BC=AB=2$\sqrt{3}$，
∴△BDE和△CEF是等边三角形，
∴∠BED=∠CEF=60°，BE=CE=$\sqrt{3}$，
∴∠DEF=60°，DE=BE=$\sqrt{3}$，
∴∠DOF=120°，⊙O的半径为1，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{3}$S_圆+2S_△DOE=$\frac{1}{3}$×1²π+2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$π+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为$\frac{1}{3}$π+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，切线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．