Question

10．在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点P在矩形的一条边上，且PB=PD，则线段PA的长为3或$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 作BD的垂直平分线，分别交AD、BC于P、P′；由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=90°，DC=AB，BC=AD，设AP为x，则PB=PD=8-x，由勾股定理得出方程，解方程求出AP，再由勾股定理求出AP′即可．

解答 解：∵PB=PD，
∴点P在BD的垂直平分线上，
作BD的垂直平分线，分别交AD、BC于P、P′，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，DC=AB=4，BC=AD=8，
设AP为x，则PB=PD=8-x，
根据勾股定理得：AB²+AP²=PB²，
即4²+x²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AP=3，；
同理CP′=3，
∴P′B=5，
∴AP′=$\sqrt{A{B}^{2}+P′{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$；
故答案为：3或$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．