【题目】已知,抛物线C1:
(1) ① 无论m取何值,抛物线经过定点P
② 随着m的取值的变化,顶点M(x,y)随之变化,y是x的函数,则点M满足的函数C2的关系式为__________________
(2) 如图1,抛物线C1与x轴仅有一个公共点,请在图1画出顶点M满足的函数C2的大致图象,平行于y轴的直线l分别交C1、C2于点A、B.若△PAB为等腰直角三角形,判断直线l满足的条件,并说明理由
(3) 如图2,二次函数的图象C1的顶点M在第二象限、交x轴于另一点C,抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为-2,连接PD、CD、CM、DM.若S△PCD=S△MCD,求二次函数的解析式
【答案】(1)①(-1,0 )②;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】试题分析:(1)①直接得出点的坐标;②用配方法确定出抛物线的顶点式方程,即可得出结论
(2)先确定出抛物线的解析式,得出此两个函数图形关于轴对称,从而设出点的坐标,最后利用等腰直角三角形的性质列出方程,解方程即可得出结论;
(3)方法一:先确定出点坐标,根据条件确定出四边形的面积是面积的2倍,列出方程即可确定出.最后代入解析式即可;
方法二:先确定出直线解析式,再用到坐标系下的三角形面积公式(水平宽乘以铅垂高的一半建立方程的)分别表示出和,从而建立方程求解,再代入解析式即可.
试题解析:(1)①∵抛物线
∴当x+1=0时,无论m为何值,抛物线经过顶点P,
∴x=1,y=0,
∴定点P(1,0),
故答案为:1,0;
②抛物线
∴
∴函数的关系式为
故答案为:
(2)如图1所示,
∵抛物线顶点在x轴,则m=1,
∴抛物线 P(1,0),
由②知,函数的关系式为
∴抛物线与关于x轴对称,
∵△PAB为等腰直角三角形,
∴直角顶点只能是点P,且PC=BC=AC,
设
∴ ∴PC=|n+1|,
∴ ∴n=1(舍)或n=1或n=3.
∴直线l的解析式为x=1或x=3.
(3)方法一:如图2,过点M作ME⊥OC,过点D作DF⊥OC,
∵抛物线
∴P(1,0),C(2m+1,0),
∵抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为2,
∴
∴
∵
S四边形CPDM=S△DFP+S梯形DFEM+S△CEM
∴PF×DF+EF×DF+ME×EF+CE×ME=2PC×DF,
∴DF(PF+EF)+ME(EF+CE)=2PC×DF,
∴DF×PE+ME×CF=2PC×DF,
∴DF×12PC+ME(PCPF)=2PC×DF,
∴DF×PC+2ME×PC2ME×PF=4PC×DF,
∴2ME×PC3PC×DF=2ME×PF,
∴PC(2ME3DF)=2ME×PF,
∴(m+1)(m+4)(2m+3)=0,
∴m=1(舍)或m=4或
当m=4时,二次函数的解析式
当时,二次函数的解析式
方法二,如图,过点M作ME⊥x轴交CD于E,过点D作DF⊥x轴,
∵抛物线
∴P(1,0),C(2m+1,0),
∵抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为2,
∴
∴直线CD解析式为
∴
∵
∴(m+1)(m+4)(2m+3)=0,
∴m=1(舍)或m=4或
当m=4时,二次函数的解析式
当时,二次函数的解析式
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【题目】如图,在正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:
(1)作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)直接写出:以A、B、C为顶点的平形四边形的第四个顶点D的坐标 .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(﹣3,0),(0,6).动点P从点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动,同时动点C从B出发,沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动,以CP,CO为邻边构造平行四边形PCOD,在线段OP延长线上取点E,使PE=AO,设点P运动的时间为t秒.
(1)直接写出当点C运动到线段OB的中点时,求t的值及点E的坐标.
(2)当点C在线段OB上运动时,四边形ADEC的面积为S.
①求证:四边形ADEC为平行四边形.
②写出s与t的函数关系式,并求出t的取值范围.
(3)是否存在某一时刻,使OC是PC的一半?若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知数轴上,点O为原点,点A表示的数为9,动点B,C在数轴上移动,且总保持BC=2(点C在点B右侧),设点B表示的数为m.
(1) 如图1,当B,C在线段OA上移动时,
① 若B为OA中点,则AC= ;
② 若B,C移动到某一位置时,恰好满足AC=OB,求此时m的值;
(2) 当线段BC沿射线AO方向移动时,若存在AC-OB=AB,求满足条件的m值.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.
(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.
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【题目】如图,Rt△ABC,∠BAC=90°,点D,E分别为边AB,BC的中点,点F在CA延长线上,且∠FDA=∠B.
(1)求证:AF=DE;
(2)若AC=3,BC=5,求四边形AEDF的周长.
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【题目】如图,已知数轴上的点A对应的数为6,B是数轴上的一点,且AB=10,动点P从点A出发,以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)数轴上点B对应的数是________,点P对应的数是_________(用t的式了表示);
(2)动点Q从点B与点P同时发,以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动,试问:运动多少时间点P可以追上点Q?
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【题目】如图,等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F,连接AC、CF. 下列结论:①△ABC≌△EAD;②△ABE是等边三角形;③AD=AF;④S△BEF=S△ABE.其中正确的有( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
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