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17.如图,已知一次函数y=-x+2$\sqrt{2}$的图象与坐标轴分别交于A、B两点,⊙O的半径为1,P是线段AB上的一个点,过点P作⊙O的切线PM,切点为M,则PM的最小值为(  )
A.2$\sqrt{2}$B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{5}$D.$\sqrt{3}$

分析 连结OM、OP,作OH⊥AB于H,如图,先利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标,则可判断△OAB为等腰直角三角形,从而得到OH=$\frac{1}{2}$AB=2,再根据切线的性质得OM⊥PM,利用勾股定理得到PM=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$,则可判断OP的长最小时,PM的长最小,然后利用垂线段最短得到OP的最小值,再计算PM的最小值.

解答 解:连结OM、OP,作OH⊥AB于H,如图,
当x=0时,y=-x+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$,则A(0,2$\sqrt{2}$),
当y=0时,-x+2$\sqrt{2}$=0,解得x=2$\sqrt{2}$,则B(2$\sqrt{2}$,0),
所以△OAB为等腰直角三角形,则AB=$\sqrt{2}$OA=4,OH=$\frac{1}{2}$AB=2,
因为PM为切线,
所以OM⊥PM,
所以PM=$\sqrt{O{P}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$,
当OP的长最小时,PM的长最小,而OP=OH=2时,OP的长最小,
所以PM的最小值为$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$.
故选D.

点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.解决本题的关键是用OP、OM表示PM,利用OP的最小值计算PM的最小值.

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