Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(2，﹣3)，且与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线AB下方抛物线上找一点D，求出使得△ABD面积最大时点D的坐标；

(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）当D坐标为（，-）时，△ABD的面积最大；（3）存在，M点的坐标为（0，-3）、（4，5）、（-2，5）.

【解析】

（1）把交点坐标为（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式，即可求解；
（2）如图，过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，设出D，E点坐标，根据S△ABD=DE×（xA-xB）即可求解；
（3）分情况进行讨论，当AB是为平行四边形的边长时，如图所示，M1、M2为所求点；当AB为平行四边形的对角线时，M3与点C重合，即可求解．

（1）把交点坐标为（2，-3），（-1，0），（3，0）代入二次函数的表达式得，

，

解得：a=1，b=-2，c=﹣3，

故二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）如图，过D点做DF⊥x轴于F，交AB于E，

把A（2，-3），B（-1，0）代入一次函数表达式得直线AB的方程为：y=-x-1，

设：D（m，m2-2m-3），E（m，-m-1），

∴DE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m+2，

S△ABD=DE×（xA-xB）=-（m-）2+，

∴当D坐标为（，-）时，△ABD的面积最大；

（3）当AB是为平行四边形的边长时，

①如图，

∵四边形ANM1B为平行四边形，

∴△ANH≌△BM1G，

则M1的横坐标为：-2，代入二次函数表达式，

解得：M1坐标为（-2，5）；

②如图，

∵四边形ANM2B为平行四边形，

∴△ABG≌△NHM2，

则M2的横坐标为：4，代入二次函数表达式，

解得：M2坐标为（4，5）；

当AB时平行四边形的对角线时，如下图所示，

M3与点C重合，

故M3（0，-3）；

故M点的坐标为：（0，-3）、（4，5）、（-2，5）．