Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（10，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-

1

2

x+m交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在OA上时，问：是否存在m，当ED绕点E旋转时，点D能恰好落到AB的中点M处？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
（2）求S与m的函数关系式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，可得E、D点坐标，根据旋转的性质，可得DE=EM，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：当0＜m＜5时，根据三角形的面积，可得函数关系式；当5＜m＜7时，根据三角形面积的和差，可得函数关系式．

解答：解：（1）存在m，当ED绕点E旋转时，点D能恰好落到AB的中点M处，理由如下：
当y=0时，-

1

2

x+m=0，解得x=2m，即E点坐标（2m，0），
当y=2时，-

1

2

x+m=2，解得x=2m-4，即D（2m-4，2）．
由A（10，0），B（10，2）得M（10，1）
由旋转的性质，得
DE=EM，DE²=EM²，即[（2m-4）-2m]²+2²=（2m-10）²+1²．
化简，得（2m-10）²=19
解得m₁=5+

19

2

，m₂=5-

19

2

；
（2）当0＜m＜5时，S=

1

2

OD•DF=

1

2

×2×2m，即S=2m；
当5＜m＜7时，当x=10时，-

1

2

×10+m=y，解得y=m-5，E（10，m-5），F（2m，0），
S=S_△ODF-S_△OEF=

1

2

×2×2m-

1

2

×2m×（m-5），
化简，得S=-m²+7m，
综上所述：S=

2m(0＜m＜5) -m2+7m(5＜m＜7)

．

点评：本题考查了一次函数综合体，利用了函数值得出自变量的值，利用了旋转的性质：旋转不改变图形的大小形状；利用三角形的面积得出函数解析式．