Question

【题目】 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，点F分别在边AB，AD上，AE＝DF＝2，连接DE，CF交于点G．连接AC与DE交于点M，延长CB至点K，使BK＝3，连接GK交AB于点N．

(1)求证：CF⊥DE；

(2)求△AMD的面积；

(3)请直接写出线段GN的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)

【解析】

（1）证明△CDF≌△DAE（SAS），推出∠DCF＝∠ADE可得结论．

（2）由AE∥CD，推出，推出DM＝ DE，推出S△ADM＝ S△ADE可得结论．

（3）过点G作GJ⊥CD于J，GH⊥BC于H．解直角三角形求出HK，HG，再利用勾股定理求解即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝AD，∠CDF＝∠DAE＝90°，

∵DF＝AE，

∴△CDF≌△DAE（SAS），

∴∠DCF＝∠ADE，

∵∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠DCF+∠ADE＝90°，

∴∠CGD＝90°，

∴CF⊥DE．

（2）解：∵AE∥CD，

∴，

∴DM＝ DE，

∴S△ADM＝ S△ADE＝××2×6＝4．

（3）解：过点G作GJ⊥CD于J，GH⊥BC于H．

∵DG⊥CF，

∴DG＝，

∴CG＝ ＝ ＝，

∵GJ⊥CD，

∴GJ＝CH＝，

∴GH＝CJ＝ ＝，HK＝6﹣ +3＝

∴GK＝ ＝9．