Question

已知二次函数y=x²+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（-3m，0）（m≠0）．
（1）证明4c=3b²；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由根与系数关系得出等式，消去m，得出b、c的关系式；
（2）根据对称轴公式可求系数b，代入（1）的结论可求c，可确定二次函数解析式，再求函数的最小值．
解答：（1）证明：依题意，m，-3m是一元二次方程x²+bx-c=0的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=m+（-3m）=-b，x₁•x₂=m（-3m）=-c，
∴b=2m，c=3m²，
∴4c=3b²=12m²；

（2）解：依题意，，即b=-2，
由（1）得，
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴二次函数的最小值为-4．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点横坐标与一元二次方程根与系数关系的联系，待定系数法求二次函数解析式的方法．