Question

8．已知二次函数y=x²+mx+1的图象C₁与x轴有且只有一个公共点，对称轴在y轴的左侧．
（1）求C₁的顶点坐标．
（2）将C₁向下平移若干个单位后，得抛物线C₂，如果C₂与x轴的两交点分别为A，B，顶点为C，且满足△ABC是直角三角形，求C₂的函数表达式及△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）函数与x轴有一个交点，则△=0，据此即可求得m的值，然后根据对称轴在y轴的左侧即可确定m的值，进而求得顶点坐标；
（2）设抛物线向下平移a个单位长度，则顶点C的坐标是（-1，-a），根据△ABC是等腰直角三角形即可利用a表示出A和C的坐标，则代入抛物线的解析式求得a的值，则函数解析式即可求得，进而求得三角形的面积．

解答 解：（1）根据题意得：△=m²-4=0，
解得：m=2或-2，
又∵对称轴在y轴的左侧，
∴m＞0，
∴m=2，
则函数是y=x²+2x+1，即y=（x+1）²，则顶点C₁坐标是（-1，0）；
（2）设抛物线向下平移a个单位长度，则顶点C的坐标是（-1，-a），
又∵△ABC是直角三角形，则一定是等腰直角三角形，
∴AB=2|a|=2a，
则A的坐标是（-a-1，0）．
二次函数的解析式是y=x²+2x+1-a，
则（-a-1）²+2（-a-1）+1-a=0，
解得：a=1或0（舍去），
则抛物线向下平移1个单位长度，则抛物线的解析是y=x²+2x．
此时A（-2，0），B（0，0），C（-1，-1）．
AB=2，AC=BC=$\sqrt{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

点评 本题考查了二次函数与x轴的交点的个数，当△＞0时有两个交点，当△=0时有一个交点，当△＜0时没有交点．