Question

如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）求AE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）连结BD，CD，由角平分线的性质和中垂线的性质就可以得出△BED≌△CFD就可以得出结论；
（2）由AED和△AFD全等，就有AE=AF，根据AC+CF+BE=AB=8． 得出BE+CF=4，进而求出BE的值就可以得出结论．

解答：（1）证明：连结BD，CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AF+EB，
∴AB=AC+CF+EB．
∵AB=8，AC=4，
∴8=4+CF+EB，
∴CF+EB=4，
∴2EB=4，
∴EB=2．
∴AE=8-2=6．
答：AE的长为6．

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，垂直平分线的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．