【题目】如图,在中,,,在中,,,点在线段上,点在线段的延长线上.将绕点顺时针方向旋转60°得到(点的对应点为,点的对应点为点),连接、,过点作,垂足为,直线交线段于,则的长为__________.
【答案】7+ .
【解析】
先画出图形,过点B作E′C的垂线交其延长线于F点,过点D′作CM的垂线交CM于H点,过A点作CM的垂线交其延长线于G点.在Rt△BFC求出BF,再在△BE′F用“面积法”求CN,证明△ACG≌△BCN,△CD′H≌△CE′N,将有关线段转化,可求CM,从而可求MN.
解:如图,若将△DCE绕点C顺时针旋转60°得到△D′CE′,
过点B作E′C的垂线交其延长线于F点,过点D′作CM的垂线交CM于H点,过A点作CM的垂线交其延长线于G点.
∵∠ACD′=60°,∠ACB=∠D′CE′=90°,
∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°.
∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°,
∴∠FBC=30°,
∴FC=5,
∴BF= ,
∴S△BCE′=BFCE′= ,
∵∠ACG+∠BCN=90°,∠BCN+∠CBN=90°,
∴∠ACG=∠CBN,
又∵AC=BC,
∴Rt△ACG≌Rt△CBN,
∴AG=CN,CG=BN.
同理△CD′H≌△E′CN,D′H=CN,CH=NE′.
∴AG=D′H,
在△AMG和△D′MH中,
,
∴△AMG≌△D′MH,
∴HM=MG,
∴M为GH中点,CM= ,
又∵BF= ,∠BCF=60°,
∴CF=5,FE′=CF+CE′=11,
∴BE′=,
∴CM=BE′=7.
又∵S△BCE′=CNBE′,
∴CN=2S△BCE′÷BE′=
∴MN=CM+CN=7+ .
故答案是:7+ .
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【题目】已知关于x的方程
(1)求证:不论k取什么实数值,这个方程总有实数根;
(2)若等腰三角形ABC的一边长为,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过D作DE∥BC交AB于点E,若DE刚好平分∠ADB,且AE=a,则BC=_____.
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【题目】如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,过点A作AD⊥x轴于D.连接OB,与AD相交于点C,若AC=2CD,则k=__.
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【题目】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
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【题目】抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与x轴交于点C,与y轴交于点B,顶点为D.
(1)求n的值和D点坐标;
(2)求四边形ABCD的面积.
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【题目】如图,已知反比例函数y1=(k1﹥0)与一次函数y2=k2x+1(k2≠0)相交于A、B两点,AC⊥x轴于点C,若△OAC的面积为1,且tan∠AOC=2.
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式;
(2)请直接写出B点的坐标,并指出当x为何值时,反比例函数y1的值大于一次函数y2的值?
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【题目】如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点.则下列结论:①a=;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2 其中正确结论的个数是( )
A. 1个B.2个C.3个D.4个
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