【题目】已知:如图1,在中,,∠ABC=30°,,点、E分别是边、AC上动点,点不与点、重合,DE∥BC.
(1)如图1,当AE=1时,求长;
(2)如图2,把沿着直线翻折得到,设
①当点F落在斜边上时,求的值;
② 如图3,当点F落在外部时,EF、DF分别与相交于点H、G,如果△ABC和△DEF重叠部分的面积为,求与的函数关系式及定义域.(直接写出答案)
【答案】(1)BD=;(2)①x=2;②.
【解析】
(1)根据DE∥BC,可得∠ADE=30°,然后分别利用三角函数求出AB和AD即可;
(2)①设,则AE=EF=4-x,然后证明△CEF是等边三角形即可解决问题;
②由①可知CE=x,AE=EF=4-x,△CEF是等边三角形,然后分别求出HF、FG和AD,利用三角形面积公式计算出和,进而得到,然后根据列式整理,并求出定义域即可.
解:(1)∵,∠ABC=30°,,AE=1,
∴,
∵DE∥BC,
∴∠ADE=30°,
∴,
∴BD=AB-AD=;
(2)①设,则AE=4-x,
∴EF=4-x,
∵∠ADE=∠B =30°,
∴∠AED=∠C =60°,
∴∠CEF=180°-60°-60°=60°,
∴△CEF是等边三角形,
∴CE=EF,即x=4-x,
∴x=2;
②由①可知CE=x,AE=EF=4-x,△CEF是等边三角形,
∴HF=EF-EH=4-x-x=4-2x,∠FHG=∠CHE=60°,
∵∠F=∠A=90°,
∴FG=HF=,
∴,
∵AE= 4-x,∠ADE=30°,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵当x=2时,点F落在斜边上,
∴定义域为:,
即.
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【题目】如图,AB是半径为2的⊙O的弦,将沿着弦AB折叠,正好经过圆心O,点C是折叠后的上一动点,连接并延长BC交⊙O于点D,点E是CD的中点,连接AC,AD,EO.则下列结论:①∠ACB=120°,②△ACD是等边三角形,③EO的最小值为1,其中正确的是_____.(请将正确答案的序号填在横线上)
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【题目】如图1,在△ABC中,∠B=60°,点M从点B出发沿射线BC方向,在射线BC上运动.在点M运动的过程中,连结AM,并以AM为边在射线BC上方,作等边△AMN,连结CN.
(1)当∠BAM= °时,AB=2BM;
(2)请添加一个条件: ,使得△ABC为等边三角形;
①如图1,当△ABC为等边三角形时,求证:CN+CM=AC;
②如图2,当点M运动到线段BC之外(即点M在线段BC的延长线上时),其它条件不变(△ABC仍为等边三角形),请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系,并证明.
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【题目】(本小题满分9分)如图,点O为Rt△ABC斜边AB上的一点,以OA为半径的⊙O与BC切于点D,与AC交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若∠BAC = 60°,OA = 2,求阴影部分的面积(结果保留).
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【题目】如图1,已知以AE为直径的半圆圆心为O,半径为5,矩形ABCD的顶点B在直径AE上,顶点C 在半圆上,AB=8,点P为半圆上一点(不与A、E两点重合).
(1)矩形ABCD的边BC的长为多少;
(2)将矩形沿直线AP折叠,点B落在点B′.
①点B′到直线AE的最大距离是多少;
②当点P与点C重合时,如图2所示,AB′交DC于点M.
求证:四边形AOCM是菱形,并通过证明判断CB′与半圆的位置关系;
③当EB′∥BD时,直接写出EB′的长为多少.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(5,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】车间有20名工人,某一天他们生产的零件个数统计如下表:
生产零件的个数(个) | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
工人人数(人) | 1 | 1 | 6 | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
(1)求这一天20名工人生产零件的平均个数;
(2)为了提高大多数工人的积极性,管理者准备实行“每天定额生产,超产有奖”的措施.如果你是管理者,从平均数、中位数、众数的角度进行分析,你将如何确定这个“定额”?
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【题目】全民健身运动已成为一种时尚,为了了解我市居民健身运动的情况,某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查,问卷包括五个项目:A:健身房运动;B:跳广场舞;C:参加暴走团;D:散布;E:不运动.
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
运动形式 | A | B | C | D | E |
人数 | 12 | 30 | m | 54 | 9 |
请你根据以上信息,回答下列问题:
(1)接受问卷调查的共有 人,图表中的m= ,n= ;
(2)统计图中,A类所对应的扇形圆心角的度数为 ;
(3)根据调查结果,我市市民最喜爱的运动方式是 ,不运动的市民所占的百分比是 ;
(4)我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一,每晚都有“暴走团”活动,若最邻近的某社区约有1500人,那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人?
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