Question

在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．
（1）写出点A、A′、C′的坐标；
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），
∴A（m，0），C（0，1），
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，
∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），
∴，解得，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+（m-1）x+m；

（3）存在．
∵点B与点D关于原点对称，B（m，1），
∴点D的坐标为：（-m，-1），
∵抛物线的解析式为：y=-x²+（m-1）x+m；
假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，
则y=-（-m）²+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m²+2m+1=0，
∵△=2²-4×（-2）×1=12＞0，
∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）．
分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标即可；
（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出abc的值，进而得出其抛物线的解析式；
（3）根据关于原点对称的点的坐标特点用m表示出D点坐标，把D点坐标代入抛物线的解析式看是否符合即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，此题涉及到图形旋转的性质及用待定系数法求抛物线的解析式，根据图形旋转不变性的性质求出A′、C′的坐标是解答此题的关键．