Question

【题目】阅读下列材料，然后解答后面的问题．

我们知道方程2x+3y=12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得，（x、y为正整数）∴则有0＜x＜6．又为正整数，则为正整数．

由2与3互质，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入．

∴2x+3y=12的正整数解为

问题：

（1）请你写出方程2x+y=5的一组正整数解：______；

（2）若为自然数，则满足条件的x值有______个；

A、2B、3C、4D、5

（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

Answer 1

【答案】（1）当x=1时，y=3；当x=2时，y=1（2）C（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支.

【解析】

根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解．（1）（2）参照例题的解题思路进行解答；
（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可．

解：（1）由2x+y=5，得y=5-2x（x、y为正整数）．

所以 ，即0＜x＜

∴当x=1时，y=3；

当x=2时，y=1．

即方程的正整数解是 或 ；

（2）同样，若 为自然数，

则有：0＜x-2≤6，即2＜x≤8．

当x=3时， ；

当x=4时， ；

当x=5时， ；

当x=8时， ．

即满足条件x的值有4个，

故选C；

（3）设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支．

则根据题意得：3m+5n=35，其中m、n均为自然数．

于是有： ，

解得： ，

所以0＜m＜ ．

由于n=7-m为正整数，则m为正整数，可知m为5的倍数．

∴当m=5时，n=4；

当m=10时，n=1．

答：有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；

或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

故答案为：（1）当x=1时，y=3；当x=2时，y=1；（2）C；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支.