Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BE平分∠ABC，过点E作BC的垂线交BC于点D，CE=BE．求证：AB=CD．

Answer 1

分析 先根据角平分线定理得出AE=DE，进而用HL判断出Rt△ABE≌Rt△DBE，得出AB=DB，再用等腰三角形的三线合一的性质得出CD=BD，即可得出结论．

解答 证明：∵点E作BC的垂线交BC于点D，
∴∠BDE=90°=∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE，
∴AB=DB，
∵CE=BE，DE⊥BC，
∴CD=BD，
∴AB=CD．

点评 此题是全等三角形的判定与性质，主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是判断出AE=DE，是一道比较典型的基础题，要注意的是，角平分线上的点到两边的距离相等．