Question

如图所示，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD与CE交于点F．请你根据图形判断AF与BE的位置具有什么关系？并给予证明．

Answer 1

AF⊥BE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE=∠DCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠ABE=∠DCE
∴∠ABE=∠FAD，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE．
分析：首先根据正方形的性质证得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再证△ADF≌△CDF，求得∠FAD=∠FCD，推出∠ABE=∠FAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°即可．
点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．