Question

已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M.

请探究：

（1）       如图①，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD＝CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论；

（2）       如图②，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。

（3）如图③，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请你判断线段MD与线段ME的数量关系，并说明理由。

 

Answer 1

解：（1）DM＝EM；

证明：过点E作EF∥AB交BC于点F，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，∴∠EFC＝∠C，

∴EF＝EC．又∵BD＝EC，∴EF＝BD．

又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．

在△DBM和△EFM中，∠BDE＝∠FEM，∠BMD＝∠FME，BD＝EF

∴△DBM≌△EFM，∴DM＝EM．……………..3分

（2）成立；

证明：过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C；

又∵EF∥AB，∴∠ABC＝∠EFC，

∴∠EFC＝∠C，∴EF＝EC．

又∵BD＝EC，∴EF＝BD．

又∵EF∥AB，∴∠ADM＝∠MEF．

在△DBM和△EFM中，∠BDE＝∠FEM，∠BMD＝∠FME，BD＝EF

∴△DBM≌△EFM；∴DM＝EM；……………..7分

（3）       MD＝ME．

过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，

由（2）可知EC=EF

∴EC:BD=EF:BD=EM:DM=m

∴EM=mDM………….9分