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10.如图①,已知矩形ABCD中,AB=60cm,BC=90cm.点P从点A出发,以3cm/s的速度沿AB运动:同时,点Q从点B出发,以20cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设点P、Q运动的时间为t(s).
(1)当t=$\frac{60}{23}$s时,△BPQ为等腰三角形;
(2)当BD平分PQ时,求t的值;
(3)如图②,将△BPQ沿PQ折叠,点B的对应点为E,PE、QE分别与AD交于点F、G.
探索:是否存在实数t,使得AF=EF?如果存在,求出t的值:如果不存在,说明理由.

分析 (1)由运动得出BP=BQ,求出t,即可;
(2)由PM∥AD,得出$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$,表示出PM,从而求出t,即可;
(3)先判断出△AEP≌△FEG,表示出BH,HQ,CQ,再由勾股定理计算即可.

解答 解:(1)当BP=BQ时,60-3t=20t,
∴t=$\frac{60}{23}$,
(2)如图1,

过P作PM∥AD,
∴$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$,
∴$\frac{PM}{90}=\frac{60-3t}{60}$,
∴PM=90-$\frac{9}{2}$t,
∵PN=NQ,PM=BQ,
∴90-$\frac{9}{2}$t=20t,
∴t=$\frac{180}{49}$,
(3)如图2,

作GH⊥BQ,
∴PB=PF=60-3t,
∵AE=EF,∠AEP=∠FEG,∠A=∠F,
∴△AEP≌△FEG,
∴PE=EG,FG=AP,
∴AG=PF=60-3t=BH,
∴HQ=BQ-BH=20t-(60-3t)=23t-60,
  GQ=FQ-FG=BQ-AP=17t,
根据勾股定理得,602=(17t)2-(23t-60)2
∴t1=4,t2=7.5(舍),
∴t=4
∴存在t=4,使AE=EF.

点评 此题是四边形综合题,主要考查了平行线分线段成比例定理,全等三角形的性质和判定,勾股定理,用时间t表示线段是解本题的关键.

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(3)小明进一步探究得出结论:
①使得PD-PE最大的点P是否存在?若存在求出点P的坐标,否则说明理由.
②若将“使△PEF得面积为整数”的点P记作“好点”,且存在多个“好点”,请直接写出所有“好点”的个数,求出使得△PEF的面积最大的好点P的坐标.

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