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在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明;
(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
(1)∵AD⊥BC,
△AEB是由△ADB折叠所得,
∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=90°,BE=BD,AE=AD.
又∵△AFC是由△ADC折叠所得,
∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=90°,FC=CD,AF=AD.
∴AE=AF.(2分)
又∵∠1+∠2=45°,
∴∠3+∠4=45°.
∴∠EAF=90°.(3分)
∴四边形AEMF是正方形.(5分)

(2)方法一:设正方形AEMF的边长为x;
根据题意知:BE=BD,CF=CD,
∴BM=x-1;CM=x-2.(7分)
在Rt△BMC中,由勾股定理得:BC2=CM2+BM2
∴(x-1)2+(x-2)2=9,
x2-3x-2=0,
解之得:x1=
3+
17
2
x2=
3-
17
2
(舍去).
S正方形AEMF=(
3+
17
2
)2=
13+3
17
2
.(10分)
方法二:设:AD=x
S△ABC=
1
2
•BC•AD
=
3
2
x

∴S五边形AEBCF=2S△ABC=3x(7分)
S△BMC=
1
2
BM•CM=
1
2
(x-1)(x-2)

且S正方形AEMF=S五边形AEBCF+S△BMC
x2=3x+
1
2
(x-1)(x-2)
即x2-3x-2=0,
解之得:x1=
3+
17
2
x2=
3-
17
2
(舍去),
S正方形AEMF=(
3+
17
2
)2=
13+3
17
2
.(10分)
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3
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3

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