Question

6．如图，△ABD内接于⊙O，点C在线段AD上，AC=2CD，点E在$\widehat{BD}$上，∠ECD=∠ABD，EC=1，则AE等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 连接DE，由圆周角定理和已知条件得出∠ECD=∠ABE，再由公共角相等，证出△CDE∽△EDA，得出对应边成比例$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{DE}$，设CD=x，则AC=2x，AD=3x，求出DE，代入比例式计算，即可得出结果．

解答 解：连接DE，如图所示：
∵∠AED=∠ABD，∠ECD=∠ABD，
∴∠ECD=∠ABE，
又∵∠EDC=∠ADE，
∴△CDE∽△EDA，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{DE}$，
∵AC=2CD，
设CD=x，则AC=2x，AD=3x，
∴DE²=AD•CD=3x²，
∴DE=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{\sqrt{3}x}{3x}=\frac{1}{AE}$，
解得：AE=$\sqrt{3}$；
故选：C．

点评 本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键．