Question

【题目】若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.

(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.

(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3（答案不唯一）；(2)y2 =x2 -2x+1，0.

【解析】

（1）根据“同簇二次函数”的定义写出两个即可；

（2）将A代入y1=2x24mx+2m2+1中，可求出y1与x的函数关系式，并求出此抛物线的顶点坐标，从而求出y1+y2与x的函数关系式，再根据“同簇二次函数”的定义即可求出b、c，从而求出函数y2的表达式，最后根据二次函数的性质自变量的取值范围和对称轴的位置关系求最值即可.

(1)根据“同簇二次函数”的定义：两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，

故这两个二次函数可以为：y=（x－1）2+3和y=2（x－1）2+3；

(2)把A(1,1)代入y1=2x24mx+2m2+1得24m+2m2+1=1，

解得m=1，则y1=2x24x+3=2（x－1）2+1,

∴y1=2x24x+3顶点坐标为（1,1），且y1+y2=3x2+（b4）x+c+3

∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”

∴

解得：b=-2，c=1

y2 =x2 -2x+1

此抛物线的开口向上，对称轴为：

∴0≤x≤3包含对称轴

∴当时，y2取最小值，此时y2=0，当x=3时，y2取最大值，此时y2=4

∴0