Question

如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC、BD间的一点，连结AB、AP、BP，过点P作直线MN∥AC．

（1）填空：MN与BD的位置关系是

平行

；
（2）试说明∠APB=∠PBD+∠PAC；
（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN∥BD；
（2）首先根据平行线的性质可得∠PBD=∠1，∠PAC=∠2，进而得到∠APB=∠1+∠2=∠PBD+∠PAC；
（3）不成立．过点P作PQ∥AC，根据平行线的性质可得∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ，进而得到∠APB=∠BPQ-∠APQ=∠PBD-∠PAC．

解答：解：（1）平行； 
理由如下：∵AC∥BD，MN∥AC，
∴MN∥BD；

（2）∵AC∥BD，MN∥BD，
∴∠PBD=∠1，∠PAC=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PBD+∠PAC．

（3）答：不成立．
理由是：
如图2，过点P作PQ∥AC，
∵AC∥BD，
∴PQ∥AC∥BD，
∴∠PAC=∠APQ，∠PBD=∠BPQ，
∴∠APB=∠BPQ-∠APQ=∠PBD-∠PAC．

点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行内错角相等，理清图中角之间的和差关系．