Question

14．阅读材料：
通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．
有这样一个问题：直线l₁的表达式为y=-2x+4，若直线l₂与直线l₁关于y轴对称，求直线l₂的表达式．
下面是小明的解题思路，请补充完整．
第一步：求出直线l₁与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；
第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l₁；
第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；
第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l₂的表达式．
小明求出的直线l₂的表达式是y=2x+4．
请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：
（1）若直线l₃与直线l₁关于直线y=x对称，则直线l₃的表达式是y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（2）若点M（m，3）在直线l₁上，将直线l₁绕点M顺时针旋转90°．得到直线l₄，求直线l₄的表达式．

Answer 1

分析 求出A、B两点的坐标，再求出C点坐标，利用待定系数法即可得出直线B、C的解析式；
（1）分别求出A、B两点的坐标关于直线y=x的对称点，再利用待定系数法求出其解析式即可；
（2）过M点作直线l₄⊥l₁，l₄交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N，求出MN与BN的长，设ND=a，则MN=$\frac{1}{2}$，BN=1，BD=a+1，根据勾股定理求出a的值，利用待定系数法求出直线l₄的表达式即可．

解答 解：∵直线l₁的表达式为y=-2x+4，
∴直线l₁与x轴的交点A的坐标为（2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），
∴点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}b=4\\-2k+b=0\end{array}\right.$，解得k=2，
∴直线l₂的表达式为：y=2x+4．
故答案为：y=2x+4；

（1）∵A（2，0），B（0，4），
∴A、B两点的坐标关于直线y=x的对称点分别为E（0，2），F（4，0），
设直线EF的解析式为y=ax+c，
则$\left\{\begin{array}{l}c=2\\ 4a+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴直线l₃的表达式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）过M点作直线l₄⊥l₁，l₄交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N．
∵点M（m，3）在直线l₁上，
∴-2m+4=3，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$，B N=1，
∴BM=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
设ND=a，则MN=$\frac{1}{2}$，BN=1，BD=a+1，
由勾股定理得：（a+1）²=a²+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得：a=$\frac{1}{4}$
∴D（0，$\frac{11}{4}$）．
设直线l₄的表达式y=kx+$\frac{11}{4}$
把M（$\frac{1}{2}$，3）代入得：k=$\frac{1}{2}$
∴直线l₄的表达式y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，根据题意画出函数图象，利用待定系数法求解是解答此题的关键．