Question

（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．
（1）求证：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x=6时，求线段FG的长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；
（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

，进而得出

DP

PE

=

DG

EB

，即

3

2

=

x

y

，即可得出答案；
②根据①中所求得出PF=PE=4，DP=PB=6，进而得出

GF

BF

=

DG

AB

=

1

2

，求出即可．

解答：（1）证明：∵点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，
∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，
∵在△APB和△APD中

AD=AB ∠DAP=∠PAB AP=AP

，
∴△APB≌△APD（SAS）；

（2）解：①∵△APB≌△APD，
∴DP=PB，∠ADP=∠ABP，
∵在△DFP和△BEP中，

∠FDP=∠EBP DP=BP ∠FPD=∠EPB

，
∴△DFP≌△BEP（ASA），
∴PF=PE，DF=BE，
∵GD∥AB，
∴

DF

AF

=

GD

AB

，
∵DF：FA=1：2，
∴

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

，
∴

DG

BE

=

3

2

，
∵

DP

PE

=

DG

EB

，即

3

2

=

x

y

，
∴y=

2

3

x；

②当x=6时，y=

2

3

×6=4，
∴PF=PE=4，DP=PB=6，
∵

GF

BF

=

DG

AB

=

1

2

，
∴

FG

10

=

1

2

，
解得：FG=5，
故线段FG的长为5．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，根据平行关系得出

DG

AB

=

1

2

，

BE

AB

=

1

3

是解题关键．