Question

14．如图，在正方形ABCD的边BA的延长线上作等腰直角△AEF，连接DF，延长BE交DF于G．若FG=3，EG=1，则线段AG的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AD，等腰直角三角形的性质可得AE=AF，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADG，在BE上截取BH=DG，然后利用“边角边”证明△ABH和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=AH，全等三角形对应角相等可得∠BAH=∠DAG，求出∠GAH=90°，再判断出△AGH是等腰直角三角形，然后求出FG=EH，再根据等腰直角三角形的性质可得AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GH．

解答 解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF=90°}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE=DF，∠ABE=∠ADG，
如图，在BE上截取BH=DG，
则EH=BE-BH=DF-DG=FG，
在△ABH和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADG}\\{BH=DG}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADG（SAS），
∴AG=AH，∠BAH=∠DAG，
∴∠GAH=∠DAG+∠DAH=∠BAH+∠DAH=∠BAD=90°，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∵EH=FG=3，EG=1，
∴GH=3+1=4，
∴AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰直角三角形．