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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,交BC于点E.

(1)求证:BE=CE;
(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

【答案】
(1)证明:连结AE,如图,

∵AC为⊙O的直径,

∴∠AEC=90°,

∴AE⊥BC,

而AB=AC,

∴BE=CE


(2)连结DE,如图,

∵BE=CE=3,

∴BC=6,

∵∠BED=∠BAC,

而∠DBE=∠CBA,

∴△BED∽△BAC,

= ,即 =

∴BA=9,

∴AC=BA=9.


【解析】(1)连结AE,如图,根据圆周角定理,由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°,然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE;(2)连结DE,如图,证明△BED∽△BAC,然后利用相似比可计算出AB的长,从而得到AC的长.
【考点精析】利用等腰三角形的性质和圆周角定理对题目进行判断即可得到答案,需要熟知等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

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