Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+4ax+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．一次函数y＝﹣x+b的图象经过点A，与y轴交于点D（0，﹣3），与这个二次函数的图象的另一个交点为E，且AD：DE＝3：2．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点M为x轴上一点，求MD+MA的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先把D点坐标代入y＝﹣x+b中求得b，则一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，于是可确定A（﹣6，0），作EF⊥x轴于F，如图，利用平行线分线段成比例求出OF＝4，接着利用一次函数解析式确定E点坐标为（4，﹣5），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再证明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用两点之间线段最短得到当点M、H、D′共线时，MD+MA的值最小，然后证明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可．

解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，

∴一次函数解析式为y＝﹣x﹣3，

当y＝0时，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，则A（﹣6，0），

作EF⊥x轴于F，如图，

∵OD∥EF，

∴＝＝，

∴OF＝OA＝4，

∴E点的横坐标为4，

当x＝4时，y＝﹣x﹣3＝﹣5，

∴E点坐标为（4，﹣5），

把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，

∴抛物线解析式为；

（2）作MH⊥AD于H，作D点关于x轴的对称点D′，如图，则D′（0，3），

在Rt△OAD中，AD＝＝3，

∵∠MAH＝∠DAO，

∴Rt△AMH∽Rt△ADO，

∴＝，即＝，

∴MH＝AM，

∵MD＝MD′，

∴MD+MA＝MD′+MH，

当点M、H、D′共线时，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此时MD+MA的值最小，

∵∠D′DH＝∠ADO，

∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，

∴＝，即＝，解得D′H＝，

∴MD+MA的最小值为．